Hölderian invariance principle for Hilbertian linear processes

¹ Department of Mathematics and Informatics, Vilnius University, Naugarduko 24, 2006 Vilnius, Lithuania; alfredas.rackauskas@maf.vu.lt
² Institute of Mathematics and Informatics, Akademijos str. 4, 08663 Vilnius, Lithuania
³ Laboratoire P. Painlevé, UMR 8524 CNRS, Université Lille I, Bât. M2, Cité Scientifique, 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France; Charles.Suquet@math.univ-lille1.fr

Received: 14 December 2007
Revised: 11 March 2008

Abstract

Let be the polygonal partial sums processes built on the linear processes , n ≥ 1, where are i.i.d., centered random elements in some separable Hilbert space and the a_i's are bounded linear operators , with . We investigate functional central limit theorem for in the Hölder spaces of functions such that ||x(t + h) - x(t)|| = o(p(h)) uniformly in t, where p(h) = h^αL(1/h), 0 ≤ h ≤ 1 with 0 ≤ α ≤ 1/2 and L slowly varying at infinity. We obtain the weak convergence of to some valued Brownian motion under the optimal assumption that for any c>0, when t tends to infinity, subject to some mild restriction on L in the boundary case α = 1/2. Our result holds in particular with the weight functions p(h) = h^1/2ln^β(1/h), β > 1/2>.

Résumé

Soit le processus polygonal de sommes partielles bâti sur le processus linéaire , n ≥ 1, les étant des éléments aléatoires i.i.d., centrés d'un espace de Hilbert séparable et les a_i's des opérateurs linéaires bornés , vérifiant . Nous étudions le théorème limite central fonctionnel pour dans les espaces de Hölder de fonctions vérifiant ||x(t + h) - x(t)|| = o(p(h)) uniformément en t, où p(h) = h^αL(1/h), 0 ≤ h ≤ 1 avec 0 ≤ α ≤ 1/2 et L à variation lente. Nous prouvons la convergence en loi dans de vers un mouvement brownien à valeurs dans , sous la condition optimale que pour tout c>0, quand t tend vers l'infini, au prix dans le cas limite α = 1/2 d'une légère restriction sur L. Notre résultat s'applique en particulier au cas p(h) = h^1/2ln^β(1/h), β > 1/2.