Schémas de discrétisation anticipatifs et estimation du paramètre de dérive d'une diffusion

Université Paris 1, Centre Pierre Mendès France, 90 rue de Tolbiac, 75013 Paris, France; e-mail: ssouchet@caramail.com

Received: 11 June 1998
Revised: 27 October 1999

Abstract

Let Y^T = (Y_t)_t∈[0,T] be a real ergodic diffusion process which drift depends on an unkown parameter . Our aim is to estimate θ₀ from a discrete observation of the process Y^T, (Y_kδ)_k=0,n, for a fixed and small δ, as T = nδ goes to infinity. For that purpose, we adapt the Generalized Method of Moments (see Hansen) to the anticipative and approximate discrete-time trapezoidal scheme, and then to Simpson's. Under some general assumptions, the trapezoidal scheme (respectively Simpson's scheme) provides an estimation of θ₀ with a bias of order δ² (resp. δ⁴). Moreover, this estimator is asymptotically normal. These results generalize Bergstrom's [1], which were obtained for a Gaussian diffusion process, which drift is linear in θ.

Résumé

Soit Y^T = (Y_t)_t∈[0,T] une diffusion réelle ergodique, dont la dérive dépend d'un paramètre inconnu . Notre but est d'estimer θ₀ à partir d'une observation discrétisée de Y^T, (Y_kδ)_k=0,n, lorsque T = nδ tend vers l'infini et que δ est petit mais fixé. Nous adaptons pour cela la méthode d'estimation des Moments Généralisés (cf. Hansen) au schéma d'approximation discret et anticipatif du trapèze, puis au schéma de Simpson. Sous certaines conditions générales, le schéma du trapèze (resp. de Simpson) fournit une estimation de θ₀ avec un biais explicite d'ordre δ² (resp. δ⁴). L'estimateur obtenu est de plus asymptotiquement normal. Ces résultats généralisent ceux obtenus par Bergstrom [1], pour une diffusion gaussienne, à dérive linéaire en θ.