A Lower Bound on the Growth Exponent for Loop-Erased Random Walk in Two Dimensions

Department of Mathematics, Box 90320, Duke University Durham, NC 27708-0320, USA; jose@math.duke.edu.

Received: 10 April 1998
Revised: 21 September 1998

Abstract

The growth exponent α for loop-erased or Laplacian random walk on the integer lattice is defined by saying that the expected time to reach the sphere of radius n is of order n^α. We prove that in two dimensions, the growth exponent is strictly greater than one. The proof uses a known estimate on the third moment of the escape probability and an improvement on the discrete Beurling projection theorem.

Résumé


L'exposant de croissance α pour la marche aléatoire à boucles effacées ou “laplacienne" sur le réseau Z^d est défini de la manière suivante : le nombre moyen de pas au moment où la marche issue de l'origine atteint la sphère de rayon n est d'ordre n^α lorsque n tend vers l'infini. Nous montrons que lorsque d=2, l'exposant de croissance est strictement supérieur à 1. La preuve utilise une estimation connue concernant le moment d'ordre trois de la probabilité de fuite, ainsi qu'un raffinement de la version discrétisée du théorème de projection de Beurling.