Large deviations from the circular law

¹ (Gerard.Benarous@epfl.ch) 
² (zeitouni@ee.technion.ac.il)

Abstract

We prove a full large deviations principle, in the scale N², for the empirical measure of the eigenvalues of an N x N (non self-adjoint) matrix composed of i.i.d. zero mean random variables with variance N^-1. The (good) rate function which governs this rate function possesses as unique minimizer the circular law, providing an alternative proof of convergence to the latter. The techniques are related to recent work by Ben Arous and Guionnet, who treat the self-adjoint case. A crucial role is played by precise determinant computations due to Edelman and to Lehmann and Sommers.

Résumé

On montre un principe de grandes déviations, en échelle N², pour la loi empirique des valeurs propres d'une matrice de taille N x N composée de variables gaussiennes indépendantes ayant une moyenne nulle et une variance N^-1. La (bonne) fonction de taux qui contrôle ce principe de grandes déviations a comme minimisante unique la loi circulaire. Les techniques sont reliées à un travail récent de Ben Arous et Guionnet, qui ont traité le cas auto-adjoint. Un rôle important est joué par des calculs précis de déterminants, faits par Edelman et par Lehmann et Sommers.