Stochastic approximations of the solution of a full Boltzmann equation with small initial data

(sylm@ccr.jussieu.fr)

Abstract

This paper gives an approximation of the solution of the Boltzmann equation by stochastic interacting particle systems in a case of cut-off collision operator and small initial data. In this case, following the ideas of Mischler and Perthame, we prove the existence and uniqueness of the solution of this equation and also the existence and uniqueness of the solution of the associated nonlinear martingale problem. 
Then, we first delocalize the interaction by considering a mollified Boltzmann equation in which the interaction is averaged on cells of fixed size which cover the space. In this situation, Graham and Méléard have obtained an approximation of the mollified solution by some stochastic interacting particle systems. Then we consider systems in which the size of the cells depends on the size of the system. We show that the associated empirical measures converge in law to a deterministic probability measure whose density flow is the solution of the full Boltzmann equation. That suggests an algorithm based on the Poisson interpretation of the integral term for the simulation of this solution.

Résumé

Nous donnons une approximation de la solution de l'équation de Boltzmann par des systèmes de particules en interaction, dans le cas d'un opérateur borné et d'une petite donnée initiale. Sous ces hypothèses, suivant les idées de Mischler et Perthame, on prouve l'existence et l'unicité de la solution de l'équation de Boltzmann, et également de la solution du problème de martingales non linéaire qui lui est associé. 
On délocalise tout d'abord l'interaction en considérant une équation de Boltzmann régularisée : l'espace est recouvert de cellules de taille fixe et l'interaction est moyennée sur chaque cellule. Dans ce cas, Graham et Méléard ont obtenu un résultat d'approximation de la solution de cette équation par un système de particules en interaction. On considère alors de nouveaux systèmes, où la taille des cellules dépend de la taille du système. On montre que la mesure empirique de ces nouveaux systèmes converge en loi vers une probabilité déterministe dont le flot des densités est la solution de l'équation de Boltzmann initiale. Cela suggère un algorithme fondé sur l'interprétation poissonienne du terme intégral, pour la simulation des solutions.