Diffusions with a nonlinear irregular drift coefficient and probabilistic interpretation of generalized Burgers' equations

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Abstract

We prove existence and uniqueness for two classes of martingale problems involving a nonlinear but bounded drift coefficient. In the first class, this coefficient depends on the time t, the position x and the marginal of the solution at time t. In the second, it depends on t, x and p(t,x), the density of the time marginal w.r.t. Lebesgue measure. As far as the dependence on t and x is concerned, no continuity assumption is made. The results, first proved for the identity diffusion matrix, are extended to bounded, uniformly elliptic and Lipschitz continuous matrices. As an application, we show that within each class, a particular choice of the coefficients leads to a probabilistic interpretation of generalizations of Burgers' equation.

Résumé

Nous montrons l'existence et l'unicité pour deux classes de problèmes de martingales comportant un coefficient de dérive non linéaire mais borné. Dans la première classe, ce coefficient dépend du temps t, de la position x et de la marginale en t de la solution. Dans la seconde, il dépend de t, x et de p(t,x), la densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) de la marginale en t. Aucune hypothèse n'est faite sur sa régularité en les variables t et x. Les résultats sont montrés dans le cas d'une matrice de diffusion égale à l'identité puis généralisés au cas d'une matrice bornée, uniformément elliptique et lipschitzienne. Pour chaque classe, un choix particulier des coefficients nous permet d'exhiber des diffusions liées à l'équation de Burgers.