Spectral gap for an unrestricted Kawasaki type dynamics

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Abstract

We give an accurate asymptotic estimate for the gap of the generator of a particular interacting particle system. The model we consider may be informally described as follows. A certain number of charged particles moves on the segment [1,L] according to a Markovian law. One unitary charge, positive or negative, jumps from a site k to another site k'=k+1 or k'=k-1 at a rate which depends on the charge at site k and at site k'. The total charge of the system is preserved by the dynamics, in this sense our dynamics is similar to the Kawasaki dynamics, but in our case there is no restriction on the maximum charge allowed per site. The model is equivalent to an interface dynamics connected with the stochastic Ising model at very low temperature: the “unrestricted solid on solid model”. Thus the results we obtain may be read as results for this model. We give necessary and sufficient conditions to ensure that the spectral gap tends towards zero as the inverse of the square of L, independently of the total charge. We follow the method outlined in some papers by Yau (Lu, Yau (1993), Yau (1994)) where a similar spectral gap is proved for the original Kawasaki dynamics.

Résumé

Nous donnons une évaluation asymptotique fine pour le trou spectral du générateur d'un système particulier de particules en interaction. Le modèle que nous considérons peut être informellement décrit comme suit. Un certain nombre de particules chargées se déplacent sur les entiers du segment [1,L] suivant une loi markovienne. Une charge unitaire, positive ou négative, saute d'un site k à un site k'=k+1 ou k'=k-1 à une vitesse qui dépend de la charge au site k et au site k'. La charge totale du système est préservée par cette dynamique qui est en ce sens similaire à celle de Kawasaki, à la différence près qu'aucune restriction n'est faite ici sur la charge maximale en un site. Le modèle est équivalent à une dynamique d'interface liée au modèle d'Ising stochastique à très basse température : le modèle "solid on solid" non contraint. Les résultats que nous obtenons sont donc également interprétables dans ce modèle. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le trou spectral tende vers zéro comme l'inverse du carré de L, indépendamment de la charge totale. Notre méthode s'inspire de celle développée par Yau dans plusieurs articles (Lu, Yau (1993), Yau (1994)) pour mettre en évidence un trou spectral analogue dans le cadre de la dynamique de Kawasaki originelle.