On Talagrand's deviation inequalities for product measures

Département de Mathéematiques, Laboratoire de Statistique et Probabilités associé au C.N.R.S., Université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne,31062 Toulouse Cedex, France. E-mail : ledoux@cict.fr

Abstract

We present a new and simple approach to some of the deviation inequalities for product measures deeply investigated by M. Talagrand in the recent years. Our method is based on functional inequalities of Poincaré and logarithmic Sobolev type and iteration of these inequalities. In particular, we establish with theses tools sharp deviation inequalities from the mean on norms of sums of independent random vectors and empirical processes. Concentration for the Hamming distance may also be deduced from this approach.

Résumé

Nous présentons une approche simple aux inégalités de déviation pour mesures produits étudiées ces dernières années par M. Talagrand. La méthode s'appuie sur les inégalités fonctionnelles de Sobolev logarithmiques, dont les propriétés de produit sont bien connues.
En particulier, nous obtenons, avec cette approche, des inégalités précises de déviation de la moyenne de sommes de vecteurs aléatoires indépendants ou de processus empiriques. Nous retrouvons également la concentration classique pour la distance de Hamming.