Optimal heat kernel bounds under logarithmic Sobolev inequalities

¹ Département de Mathématiques, Laboratoire de Statistique et Probabilités associé au C.N.R.S., Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse, France. Email : bakry@cict.fr, ledoux@cict.fr
² Unité de Biométrie, Ecole Vétérinaire de Toulouse, 31067 Toulouse, France et Département de Mathématiques, Laboratoire de Statistique et Probabilités associé au C.N.R.S., Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse, France. Email : concorde@cict.fr

Abstract

We establish optimal uniform upper estimates on heat kernels whose generators satisfy a logarithmic Sobolev inequality (or entropy-energy inequality) with the optimal constant of the Euclidean space. Off-diagonals estimates may also be obtained with however a smaller d istance involving harmonic functions. In the last part, we apply these methods to study some heat kernel decays for diffusion operators of the type Laplacian minus the gradient of a smooth potential with a given growth at infinity.

Résumé

Nous établissons une majoration optimale du noyau de la chaleur d'un générateur vérifiant une inégalité de Sobolev logarithmique (ou inégalité entropie-énergie) avec la constante optimale du cas euclidien. Des estimations hors-diagonales pour une distance faisant intervenir les fonctions harmoniques complètent ces résultats. Dans la dernière partie de ce travail, nous faisons usage de ces méthodes pour étudier quelques exemples de décroissance de noyaux de la chaleur sur l'espace euclidien associés à des générateurs du type laplacien moins le gradient d' un potentiel dont la croissance à l'infini est contrôlée.