Density in small time for Lévy processes

picard@ucfma.univ-bpclermont.fr

Abstract

The density of real-valued Lévy processes is studied in small time under the assumption that the process has many small jumps. We prove that the real line can be divided into three subsets on which the density is smaller and smaller: the set of points that the process can reach with a finite number of jumps (Δ-accessible points); the set of points that the process can reach with an infinite number of jumps (asymptotically Δ-accessible points); and the set of points that the process cannot reach by jumping (Δ-inaccessible points).

Résumé

Nous étudions la densité des processus de Lévy réels en temps petit, en supposant que le processus a beaucoup de petits sauts. Nous montrons que la droite réelle peut être divisée en trois sous-ensembles sur lesquels la densité est de plus en plus petite : l'ensemble des points que le processus peut atteindre en un nombre fini de sauts (points Δ-accessibles) ; l'ensemble des points que le processus peut atteindre en un nombre infini de sauts (points asymptotiquement Δ-accessibles); et l'ensemble des points que le processus ne peut pas atteindre en sautant (points Δ-inaccessibles).