Bounds and asymptotic expansions for the distribution of the Maximum of a smooth stationary Gaussian process

Free access article

Issue		ESAIM: PS Volume 3, 1999


Page(s)		107 - 129
DOI		10.1051/ps:1999105

DOI: 10.1051/ps:1999105

ESAIM: PS, September 1999, Vol. 3, p. 107-129

Bounds and asymptotic expansions for the distribution of the Maximum of a smooth stationary Gaussian process

Encadrement et équivalents asymptotiques de la fonction de répartition du Maximum d'un processus Gaussien stationnaire régulier

Jean-Marc Azaïs
Laboratoire de Statistique et Probabilités, UMR C55830 du CNRS, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France. (azais@cict.fr)

Christine Cierco-Ayrolles
Laboratoire de Statistique et Probabilités, UMR C55830 du CNRS, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France.
Institut National de la Recherche Agronomique, Unité de Biométrie et Intelligence Artificielle, BP. 27, Chemin de Borde-Rouge, 31326 Castanet-Tolosan Cedex, France; (cierco@toulouse.inra.fr)

Alain Croquette
Laboratoire de Statistique et Probabilités, UMR C55830 du CNRS, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France. (croquett@cict.fr)

Received June 4, 1998. Revised June 8, 1999.

Abstract: This paper uses the Rice method [18] to give bounds to the distribution of the maximum of a smooth stationary Gaussian process. We give simpler expressions of the first two terms of the Rice series [3,13] for the distribution of the maximum. Our main contribution is a simpler form of the second factorial moment of the number of upcrossings which is in some sense a generalization of Steinberg et al.'s formula ([7] p. 212). Then, we present a numerical application and asymptotic expansions that give a new interpretation of a result by Piterbarg [15].

Résumé: Dans cet article nous utilisons la méthode de Rice (Rice, 1944-1945) pour trouver un encadrement de la fonction de répartition du maximum d'un processus Gaussien stationnaire régulier. Nous dérivons des expressions simplifiées des deux premiers termes de la série de Rice (Miroshin, 1974, Azaïs et Wschebor, 1997) suffisants pour l'encadrement cherché. Notre contribution principale est la donnée d'une forme plus simple du second moment factoriel du nombre de franchissements vers le haut, ce qui est, en quelque sorte, une généralisation de la formule de Steinberg et al. (Cramér and Leadbetter, 1967, p. 212). Nous présentons ensuite une application numérique et des développements asymptotiques qui fournissent une nouvelle interprétation d'un résultat de Piterbarg (1981).

Keywords and phrases: Asymptotic expansions, extreme values, stationary Gaussian process, Rice series, upcrossings.

AMS Subject Classification: 60Exx, 60Gxx, 60G10, 60G15, 60G70, 62E17, 65U05.

Article without figures.
Maple worksheet included

What is OpenURL?

The OpenURL standard is a protocol for transmission of metadata describing the resource that you wish to access. An OpenURL link contains article metadata and directs it to the OpenURL server of your choice. The OpenURL server can provide access to the resource and also offer complementary services (specific search engine, export of references...). The OpenURL link can be generated by different means.

If your librarian has set up your subscription with an OpenURL resolver, OpenURL links appear automatically on the abstract pages.
You can define your own OpenURL resolver with your EDPS Account. In this case your choice will be given priority over that of your library.
You can use an add-on for your browser (Firefox or I.E.) to display OpenURL links on a page (see http://www.openly.com/openurlref/). You should disable this module if you wish to use the OpenURL server that you or your library have defined.