Minimax results for estimating integrals of analytic processes

Abstract
The problem of predicting integrals of stochastic processes is considered. Linear estimators have been constructed by means of samples at N discrete times for processes having a fixed Hölderian regularity s > 0 in quadratic mean. It is known that the rate of convergence of the mean squared error is of order N^-(2s+1). In the class of analytic processes H^p, p ≥ 1, we show that among all estimators, the linear ones are optimal. Moreover, using optimal coefficient estimators derived through the inversion of the covariance matrix, the corresponding maximal error has lower and upper bounds with exponential rates. Optimal simple nonparametric estimators with optimal sampling designs are constructed in H² and H^∞ and have also bounds with exponential rates.

Résumé
Nous considérons le problème de la prédiction d'intégrales de processus stochastiques. Pour des processus s > 0 hölderien en moyenne quadratique, des estimateurs linéaires basés sur l'observation d'un échantillonage du processus en N instants ont été construits. La vitesse de convergence de l'erreur quadratique moyenne de ces estimateurs est en N^-(2s+1). Dans la classe des processus analytiques H^p, p ≥ 1, nous montrons l'optimalité des estimateurs linéaires parmi tous les estimateurs. De plus, en utilisant des estimateurs avec les coefficients optimaux provenant de l'inversion de la matrice de covariance, nous obtenons des bornes inférieures et supérieures de vitesses exponentielles. Enfin, des estimateurs optimaux, simples et non-paramétriques sont construits à partir d'un échantillonage optimal dans H² and H^∞. Ces estimateurs ont aussi des bornes de vitesses exponentielles.