Asymptotic normality in mixture models

Abstract
We study the estimation of a linear integral functional of a distribution F, using i.i.d. observations which density is a mixture of a family of densities k(.,y) under F. We examine the asymptotic distribution of the estimator obtained by plugging the non parametric maximum likelihood estimator (NPMLE) of F in the functional. A problem here is that usually, the NPMLE does not dominate F.

Our main aim here is to show that this can be overcome by considering a convex combination of F and the NPMLE.

Résumé
Nous cherchons à estimer une fonctionnelle intégrale linéaire d'une fonction de répartition F sur la base d'observations indépendantes et équidistribuées dont la densité s'exprime comme un mélange sous F d'une famille de densités k(.,y). Nous étudions la loi asymptotique de l'estimateur obtenu en substituant à F , dans la fonctionnelle intégrale, un estimateur du maximum de vraisemblance non paramétrique de F. Un point délicat est ici que généralement cet estimateur du maximum de vraisemblance non paramétrique ne domine pas F.

Notre but est de montrer que ce problème peut être surmonté si on considère une combinaison convexe de ces deux fonctions de répartition.