Research Article

Bounds and asymptotic expansions for the distribution of the Maximum of a smooth stationary Gaussian process

Azaïs, Jean-Marc^a1, Cierco-Ayrolles, Christine^a2a1 and Croquette, Alain^a1

^a1 Laboratoire de Statistique et Probabilités, UMR C55830 du CNRS, Université Paul Sabatier, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex 4, France.

^a2 Institut National de la Recherche Agronomique, Unité de Biométrie et Intelligence Artificielle, BP. 27, Chemin de Borde-Rouge, 31326 Castanet-Tolosan Cedex, France.

Abstract

This paper uses the Rice method [18] to give bounds to the distribution of the maximum of a smooth stationary Gaussian process. We give simpler expressions of the first two terms of the Rice series [3,13] for the distribution of the maximum. Our main contribution is a simpler form of the second factorial moment of the number of upcrossings which is in some sense a generalization of Steinberg et al.'s formula ([7] p. 212). Then, we present a numerical application and asymptotic expansions that give a new interpretation of a result by Piterbarg [15].

Résumé

Dans cet article nous utilisons la méthode de Rice (Rice, 1944-1945) pour trouver un encadrement de la fonction de répartition du maximum d'un processus Gaussien stationnaire régulier. Nous dérivons des expressions simplifiées des deux premiers termes de la série de Rice (Miroshin, 1974, Azaïs et Wschebor, 1997) suffisants pour l'encadrement cherché. Notre contribution principale est la donnée d'une forme plus simple du second moment factoriel du nombre de franchissements vers le haut, ce qui est, en quelque sorte, une généralisation de la formule de Steinberg et al. (Cramér and Leadbetter, 1967, p. 212). Nous présentons ensuite une application numérique et des développements asymptotiques qui fournissent une nouvelle interprétation d'un résultat de Piterbarg (1981).

(Received June 4 1998)

(Revised June 8 1999)

(Online publication August 15 2002)

Key Words:

• Asymptotic expansions;
• extreme values;
• stationary Gaussian process;
• Rice series;
• upcrossings.

Mathematics Subject Classification:

• 60Exx;
• 60Gxx;
• 60G10;
• 60G15;
• 60G70;
• 62E17;
• 65U05