Research Article

A Lower Bound on the Growth Exponent for Loop-Erased Random Walk in Two Dimensions

Lawler, Gregory F.

Department of Mathematics, Box 90320, Duke University Durham, NC 27708-0320, USA; jose@math.duke.edu.

Abstract

The growth exponent α for loop-erased or Laplacian random walk on the integer lattice is defined by saying that the expected time to reach the sphere of radius n is of order n^α . We prove that in two dimensions, the growth exponent is strictly greater than one. The proof uses a known estimate on the third moment of the escape probability and an improvement on the discrete Beurling projection theorem.

Résumé


L'exposant de croissance α pour la marche aléatoire à boucles effacées ou “laplacienne" sur le réseau Z^d est défini de la manière suivante : le nombre moyen de pas au moment où la marche issue de l'origine atteint la sphère de rayon n est d'ordre n^α lorsque n tend vers l'infini. Nous montrons que lorsque d=2, l'exposant de croissance est strictement supérieur à 1. La preuve utilise une estimation connue concernant le moment d'ordre trois de la probabilité de fuite, ainsi qu'un raffinement de la version discrétisée du théorème de projection de Beurling.

(Received April 10 1998)

(Revised September 21 1998)

(Online publication August 15 2002)

Key Words:

• loop-erased walk;
• Beurling projection theorem

Mathematics Subject Classification:

• 60J15