Research Article

Schémas de discrétisation anticipatifs et estimation du paramètre de dérive d'une diffusion

Samos, Sandie Souchet

Université Paris 1, Centre Pierre Mendès France, 90 rue de Tolbiac, 75013 Paris, France; e-mail: ssouchet@caramail.com

Abstract

Let Y^T = (Y_t)_t∈[0,T] be a real ergodic diffusion process which drift depends on an unkown parameter . Our aim is to estimate θ ₀ from a discrete observation of the process Y^T , (Y_kδ)_k=0,n , for a fixed and small δ, as T = nδ goes to infinity. For that purpose, we adapt the Generalized Method of Moments (see Hansen) to the anticipative and approximate discrete-time trapezoidal scheme, and then to Simpson's. Under some general assumptions, the trapezoidal scheme (respectively Simpson's scheme) provides an estimation of θ ₀ with a bias of order δ ² (resp. δ ⁴). Moreover, this estimator is asymptotically normal. These results generalize Bergstrom's [1], which were obtained for a Gaussian diffusion process, which drift is linear in θ.

Résumé

Soit Y^T = (Y_t)_t∈[0,T] une diffusion réelle ergodique, dont la dérive dépend d'un paramètre inconnu . Notre but est d'estimer θ ₀ à partir d'une observation discrétisée de Y^T , (Y_kδ)_k=0,n , lorsque T = nδ tend vers l'infini et que δ est petit mais fixé. Nous adaptons pour cela la méthode d'estimation des Moments Généralisés (cf. Hansen) au schéma d'approximation discret et anticipatif du trapèze, puis au schéma de Simpson. Sous certaines conditions générales, le schéma du trapèze (resp. de Simpson) fournit une estimation de θ ₀ avec un biais explicite d'ordre δ ² (resp. δ ⁴). L'estimateur obtenu est de plus asymptotiquement normal. Ces résultats généralisent ceux obtenus par Bergstrom [1], pour une diffusion gaussienne, à dérive linéaire en θ.

(Received June 11 1998)

(Revised October 27 1999)

(Online publication August 15 2002)

Key Words:

• Schéma du trapèze;
• schéma de Simpson;
• schéma anticipatif;
• diffusion ergodique;
• estimation par variables instrumentales;
• méthode des moments généralisés;
• contraste;
• biais d'estimation;
• efficacité asymptotique en variance.

Mathematics Subject Classification:

• 62M05;
• 62F12